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回溯算法 DFS深度优先搜索 (递归与非递归实现)


回溯法是一种选优搜索法(试探法),被称为通用的解题方法,这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。通过剪枝(约束+限界)可以大幅减少解决问题的计算量(搜索量)。

基本思想

将n元问题P的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中求问题P的解转化为在T中搜索问题P的解。

深度优先搜索(Depth-First-Search,DFS)是一种用于遍历或搜索树或图的算法。沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过,搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点,则选择其中一个作为源节点并重复以上过程,整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。 --from wiki

实现方法

1、按选优条件对T进行深度优先搜索,以达到目标。

2、从根结点出发深度优先搜索解空间树

3、当探索到某一结点时,要先判断该结点是否包含问题的解

如果包含,就从该结点出发继续按深度优先策略搜索否则逐层向其祖先结点回溯(退回一步重新选择)满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”

4、算法结束条件

求所有解:回溯到根,且根的所有子树均已搜索完成求任一解:只要搜索到问题的一个解就可以结束

遍历过程

典型的解空间树

第一类解空间树:子集树

当问题是:从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时相应的解空间树称为子集树,例如n个物品的0/1背包问题。

这类子集树通常有2^n个叶结点解空间树的结点总数为2^(n+1) - 1遍历子集树的算法需Ω(2^n)计算时间

第二类解空间树:排列树

当问题是:确定n个元素满足某种性质的排列时相应的解空间树称为排列树,例如旅行商问题。

DFS搜索在程序中可以两种方式来实现,分别是非递归方式递归方式。前者思路更加清晰,便于理解,后者代码更加简洁高效。

非递归实现

非递归实现需要借助堆栈(先入后出,后入先出),在C++中使用stack容器即可。

问题

若给定一个序列,需要找到其中的一个子序列,判断是否满足一定的条件。下面将程序实现DFS对子序列的搜索过程。

实现步骤:

1、首先将根节点放入堆栈中。

2、从堆栈中取出第一个节点,并检验它是否为目标。

如果找到目标,则结束搜寻并回传结果。否则将它某一个尚未检验过的直接子节点加入堆栈中。

3、重复步骤2。

4、如果不存在未检测过的直接子节点。

将上一级节点加入堆栈中。重复步骤2。

5、重复步骤4。

6、若堆栈为空,表示整张图都检查过了——亦即图中没有欲搜寻的目标。结束搜寻并回传“找不到目标”。

C++代码

/*********************************************************************** Ran Chen <wychencr@163.com>** Back-track algorithm (by DFS)**********************************************************************/#include <iostream>#include <vector>#include <stack>using namespace std;class Node{public: int num; // 节点中元素个数 int sum; // 节点中元素和 int rank; // 搜索树的层级 int flag; // 0表示子节点都没访问过,1表示访问过左节点,2表示访问过左右节点 vector <int> path; // 节点元素 Node(); Node(const Node & nd);};// 默认构造函数Node::Node(){ num = 0; sum = 0; rank = 0; flag = 0; // path is empty}// 复制构造函数Node::Node(const Node & nd){ num = nd.num; sum = nd.sum; rank = nd.rank; flag = nd.flag; path = nd.path;}// -----------------------------------------------------------------void DFS(const vector <int> & deque){ stack <Node *> stk; // 存储节点对应的指针 stack <Node *> pre_stk; // 存储上一级节点(回溯队列) Node * now = new Node; // 指向当前节点 Node * next = NULL; // 指向下一个节点 Node * previous = NULL; // 指向上一个节点 while (now) { if (now->rank < deque.size() && (now->flag == 0)) { // 左叶子节点,选择当前rank的数字 next = new Node(*now); next->num++; next->sum += deque[next->rank]; next->path.push_back(deque[next->rank]); next->rank++; next->flag = 0; stk.push(next); // 将左节点加入堆栈中 now->flag = 1; // 改变标志位 // 将当前节点作为上一级节点存储并删除 previous = new Node(*now); pre_stk.push(previous); delete (now); // 取出堆栈中的待选节点作为当前节点 now = stk.top(); stk.pop(); // 显示搜索路径 for (int i = 0; i < next->path.size(); ++i) { cout << " " << next->path[i] << " "; } cout << endl; continue; // DFS每次仅选取一个子节点,再进入下一步循环 } if (now->rank < deque.size() && (now->flag == 1)) { // 右节点,不选择当前rank的数字 next = new Node(*now); next->rank++; next->flag = 0; stk.push(next); now->flag = 2; // 将当前节点作为上一级节点存储并删除 previous = new Node(*now); pre_stk.push(previous); delete (now); // 取出堆栈中的待选节点作为当前节点 now = stk.top(); stk.pop(); continue; } // 回溯结束 if (pre_stk.empty()) { break; } // 没有子节点或者没有未搜索过的子节点时,回退到上一级节点(回溯) if (now->rank >= deque.size() || now->flag == 2) { delete (now); now = pre_stk.top(); pre_stk.pop(); } }}// -----------------------------------------------------------------int main(){ stack <Node*> stk; vector <int> deque { 2,3,5,7 }; DFS(deque); cin.get(); return 0;}

运行结果

程序说明

1、定义了一个Node节点类,表示当前状态下已经搜索到的序列,path记录了这个子序列的值,并且类中添加了num(子序列中元素数目)、sum(子序列元素和)等属性,通过这些属性可以判断是否找到满意解或者用于剪枝。

2、对于原始序列中某个位置的数,其子序列中可以包含这个数,也可以不包含这个数,所以每次有两种选择,即每个节点有两个子节点。

3、flag属性标识了当前节点的子节点遍历情况。若flag=0,表示子节点都没访问过,下一步优先访问左节点,所以将左节点加入堆栈中;flag=1,表示访问过左节点,下一步访问右节点;flag=2,表示访问过左右节点。

4、当没有子节点(now->rank >= deque.size())或者左右节点都访问过时(flag=2),回溯到上一级节点。

5、程序循环中,首先通过now当前节点,找到下一个子节点next,将其加入堆栈中,便于下一步循环。在now节点销毁前,将其存到previous,并加入pre_stk堆栈中。这样在下一轮循环中,previous相对于now就是上一级节点,如果now不能找到其子节点,就要返回上一级,这样previous就可以重新赋给now,达到返回上一级的目的。

6、整个程序的终止条件是pre_stk堆栈为空时截止,说明所有节点都已经遍历过,并且没有再可回溯的节点了。实际运用中,可以通过其他属性(搜索到可行解)来提前终止程序。

递归实现

参考自Coding_Or_Dead的博客

#include<cstdio>#include <iostream>int n, k; __int64 sum = 0;int a[4] = { 2, 3, 5, 7 }, vis[4] = {0, 0, 0, 0};void DFS(int i, int cnt, int sm)//i为数组元素下标,sm为cnt个数字的乘积{ if (cnt == k) // 解中已包含k个数字 { sum = sum + sm; return; } if (i >= n) return; if (!vis[i]) { // 对第i个数字进行访问 vis[i] = 1; //a[i]被选,优先选择第i个加入到解中,接下来搜索第i+1个数字 DFS(i + 1, cnt + 1, sm*a[i]); //a[i]不选,不选择第i个,相当于右节点,接下来搜素第i+1个数字 DFS(i + 1, cnt, sm); vis[i] = 0; // 回溯 } return;}int main(void){ n = 4, k = 2; DFS0, 1); printf("%I64d", sum); std::system("pause"); return 0;}

程序说明

1、程序目的:给定n个正整数,求出这n个正整数中所有任选k个相乘后的和,这里的数组a[4]存储原序列,vis[4]作为访问标志,k取2,结果输出为101,对应的序列是{2, 3}{2, 5}{2, 7}{3, 5}{3, 7}{5, 7}

2、对于元素a[i],每次对应两个选择。若选择将a[i]加入到解中,则解中元素个数+1,乘积结果*a[i],所以下一步更新为DFS(i + 1, cnt + 1, sm*a[i])。若不选择a[i],则解中的元素个数和乘积不变,下一步更新为DFS(i + 1, cnt, sm)

3、回溯时要将标志位重置。


References

深度优先搜索 - 维基百科,自由的百科全书DFS深度优先搜索(入门) - CSDN博客广度优先搜索 BFS算法 - 东聃 - 博客园, 1, 0, 9);

欢迎阅读本文章: 崔连春

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